\(\int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx\) [152]

Optimal result

Integrand size = 21, antiderivative size = 230 \[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=-\frac {\operatorname {AppellF1}\left (1-n,-\frac {1}{2},\frac {1}{2}-n,2-n,\cos (c+d x),-\cos (c+d x)\right ) (1+\cos (c+d x))^{\frac {1}{2}-n} (n-n \cos (c+d x)) \cot (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n}{d (1-n) \sqrt {1-\cos (c+d x)}}-\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}+\frac {2^{\frac {1}{2}+n} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-4+n,\frac {1}{2}-n,\frac {3}{2},1-\cos (c+d x),\frac {1}{2} (1-\cos (c+d x))\right ) \cos ^n(c+d x) (1+\cos (c+d x))^{-\frac {1}{2}-n} (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d} \]

[Out]

-cos(d*x+c)*(a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)/d+2^(1/2+n)*AppellF1(1/2,-4+n,1/2-n,3/2,1-cos(d*x+c),1/2-1/2*cos(d*x
+c))*cos(d*x+c)^n*(1+cos(d*x+c))^(-1/2-n)*(a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)/d-AppellF1(1-n,1/2-n,-1/2,2-n,-cos(d*x
+c),cos(d*x+c))*(1+cos(d*x+c))^(1/2-n)*(n-n*cos(d*x+c))*cot(d*x+c)*(a+a*sec(d*x+c))^n/d/(1-n)/(1-cos(d*x+c))^(
1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.82 (sec) , antiderivative size = 230, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 11, number of rules used = 9, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.429, Rules used = {3961, 2960, 2866, 2865, 2864, 138, 3125, 3087, 140} \[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\frac {2^{n+\frac {1}{2}} \sin (c+d x) \cos ^n(c+d x) (\cos (c+d x)+1)^{-n-\frac {1}{2}} (a \sec (c+d x)+a)^n \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},n-4,\frac {1}{2}-n,\frac {3}{2},1-\cos (c+d x),\frac {1}{2} (1-\cos (c+d x))\right )}{d}-\frac {\cot (c+d x) (n-n \cos (c+d x)) (\cos (c+d x)+1)^{\frac {1}{2}-n} (a \sec (c+d x)+a)^n \operatorname {AppellF1}\left (1-n,-\frac {1}{2},\frac {1}{2}-n,2-n,\cos (c+d x),-\cos (c+d x)\right )}{d (1-n) \sqrt {1-\cos (c+d x)}}-\frac {\sin (c+d x) \cos (c+d x) (a \sec (c+d x)+a)^n}{d} \]

[In]

Int[(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^4,x]

[Out]

-((AppellF1[1 - n, -1/2, 1/2 - n, 2 - n, Cos[c + d*x], -Cos[c + d*x]]*(1 + Cos[c + d*x])^(1/2 - n)*(n - n*Cos[
c + d*x])*Cot[c + d*x]*(a + a*Sec[c + d*x])^n)/(d*(1 - n)*Sqrt[1 - Cos[c + d*x]])) - (Cos[c + d*x]*(a + a*Sec[
c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/d + (2^(1/2 + n)*AppellF1[1/2, -4 + n, 1/2 - n, 3/2, 1 - Cos[c + d*x], (1 - Cos[c +
d*x])/2]*Cos[c + d*x]^n*(1 + Cos[c + d*x])^(-1/2 - n)*(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x])/d

Rule 138

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m +
1)/(b*(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 140

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[c^IntPart[n]*((c +
d*x)^FracPart[n]/(1 + d*(x/c))^FracPart[n]), Int[(b*x)^m*(1 + d*(x/c))^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{b, c, d
, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] &&  !GtQ[c, 0]

Rule 2864

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[(-b)*(
d/b)^n*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])), Subst[Int[(a - x)^n*((2*a - x)^(m
- 1/2)/Sqrt[x]), x], x, a - b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !
IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] && GtQ[d/b, 0]

Rule 2865

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[(d/b)
^IntPart[n]*((d*Sin[e + f*x])^FracPart[n]/(b*Sin[e + f*x])^FracPart[n]), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(b*Sin[e +
f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !Gt
Q[d/b, 0]

Rule 2866

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^Int
Part[m]*((a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Sin[e + f*x])^FracPart[m]), Int[(1 + (b/a)*Sin[e + f*x])^
m*(d*Sin[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rule 2960

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4*((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)
, x_Symbol] :> Dist[1/d^4, Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 4)*(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] + Int[(d*Sin[e + f*x])^
n*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(1 - 2*Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&
!IGtQ[m, 0]

Rule 3087

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(p_)*((c_) + (d_.)*si
n[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/(f*Cos[e +
f*x])), Subst[Int[(a + b*x)^(m - 1/2)*(c + d*x)^(n - 1/2)*(A + B*x)^p, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, e, f, A, B, m, n, p}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3125

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)*
sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(
n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Dist[1/(b*d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Si
mp[A*b*d*(m + n + 2) + C*(a*c*m + b*d*(n + 1)) + C*(a*d*m - b*c*(m + 1))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&  !LtQ[m, -2^
(-1)] && NeQ[m + n + 2, 0]

Rule 3961

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[Sin[e
+ f*x]^FracPart[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(b + a*Sin[e + f*x])^FracPart[m]), Int[(g*Cos[e + f*x])^
p*((b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, m, p}, x] && (EqQ[a^2 - b^2, 0] ||
IntegersQ[2*m, p])

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left ((-\cos (c+d x))^n (-a-a \cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int (-\cos (c+d x))^{-n} (-a-a \cos (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx \\ & = \left ((-\cos (c+d x))^n (-a-a \cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int (-\cos (c+d x))^{4-n} (-a-a \cos (c+d x))^n \, dx+\left ((-\cos (c+d x))^n (-a-a \cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int (-\cos (c+d x))^{-n} (-a-a \cos (c+d x))^n \left (1-2 \cos ^2(c+d x)\right ) \, dx \\ & = -\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}+\left ((-\cos (c+d x))^n (1+\cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int (-\cos (c+d x))^{4-n} (1+\cos (c+d x))^n \, dx+\frac {\left ((-\cos (c+d x))^n (-a-a \cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int (-\cos (c+d x))^{-n} (-a-a \cos (c+d x))^n (2 a n-2 a n \cos (c+d x)) \, dx}{2 a} \\ & = -\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}+\left (\cos ^n(c+d x) (1+\cos (c+d x))^{-n} (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \int \cos ^{4-n}(c+d x) (1+\cos (c+d x))^n \, dx-\frac {\left ((-\cos (c+d x))^n (-a-a \cos (c+d x))^{\frac {1}{2}-n} \sqrt {2 a n-2 a n \cos (c+d x)} \csc (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \text {Subst}\left (\int (-x)^{-n} (-a-a x)^{-\frac {1}{2}+n} \sqrt {2 a n-2 a n x} \, dx,x,\cos (c+d x)\right )}{2 a d} \\ & = -\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}-\frac {\left ((-\cos (c+d x))^n (1+\cos (c+d x))^{\frac {1}{2}-n} \sqrt {2 a n-2 a n \cos (c+d x)} \csc (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \text {Subst}\left (\int (-x)^{-n} (1+x)^{-\frac {1}{2}+n} \sqrt {2 a n-2 a n x} \, dx,x,\cos (c+d x)\right )}{2 a d}+\frac {\left (\cos ^n(c+d x) (1+\cos (c+d x))^{-\frac {1}{2}-n} (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {(1-x)^{4-n} (2-x)^{-\frac {1}{2}+n}}{\sqrt {x}} \, dx,x,1-\cos (c+d x)\right )}{d \sqrt {1-\cos (c+d x)}} \\ & = -\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}+\frac {2^{\frac {1}{2}+n} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-4+n,\frac {1}{2}-n,\frac {3}{2},1-\cos (c+d x),\frac {1}{2} (1-\cos (c+d x))\right ) \cos ^n(c+d x) (1+\cos (c+d x))^{-\frac {1}{2}-n} (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}-\frac {\left ((-\cos (c+d x))^n (1+\cos (c+d x))^{\frac {1}{2}-n} (2 a n-2 a n \cos (c+d x)) \csc (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n\right ) \text {Subst}\left (\int \sqrt {1-x} (-x)^{-n} (1+x)^{-\frac {1}{2}+n} \, dx,x,\cos (c+d x)\right )}{2 a d \sqrt {1-\cos (c+d x)}} \\ & = -\frac {\operatorname {AppellF1}\left (1-n,-\frac {1}{2},\frac {1}{2}-n,2-n,\cos (c+d x),-\cos (c+d x)\right ) (1+\cos (c+d x))^{\frac {1}{2}-n} (n-n \cos (c+d x)) \cot (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n}{d (1-n) \sqrt {1-\cos (c+d x)}}-\frac {\cos (c+d x) (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d}+\frac {2^{\frac {1}{2}+n} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},-4+n,\frac {1}{2}-n,\frac {3}{2},1-\cos (c+d x),\frac {1}{2} (1-\cos (c+d x))\right ) \cos ^n(c+d x) (1+\cos (c+d x))^{-\frac {1}{2}-n} (a+a \sec (c+d x))^n \sin (c+d x)}{d} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 21.75 (sec) , antiderivative size = 7069, normalized size of antiderivative = 30.73 \[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(a + a*Sec[c + d*x])^n*Sin[c + d*x]^4,x]

[Out]

Result too large to show

Maple [F]

\[\int \left (a +a \sec \left (d x +c \right )\right )^{n} \sin \left (d x +c \right )^{4}d x\]

[In]

int((a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)^4,x)

[Out]

int((a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)^4,x)

Fricas [F]

\[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\int { {\left (a \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} \,d x } \]

[In]

integrate((a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((cos(d*x + c)^4 - 2*cos(d*x + c)^2 + 1)*(a*sec(d*x + c) + a)^n, x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((a+a*sec(d*x+c))**n*sin(d*x+c)**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\int { {\left (a \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} \,d x } \]

[In]

integrate((a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((a*sec(d*x + c) + a)^n*sin(d*x + c)^4, x)

Giac [F]

\[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\int { {\left (a \sec \left (d x + c\right ) + a\right )}^{n} \sin \left (d x + c\right )^{4} \,d x } \]

[In]

integrate((a+a*sec(d*x+c))^n*sin(d*x+c)^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((a*sec(d*x + c) + a)^n*sin(d*x + c)^4, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (a+a \sec (c+d x))^n \sin ^4(c+d x) \, dx=\int {\sin \left (c+d\,x\right )}^4\,{\left (a+\frac {a}{\cos \left (c+d\,x\right )}\right )}^n \,d x \]

[In]

int(sin(c + d*x)^4*(a + a/cos(c + d*x))^n,x)

[Out]

int(sin(c + d*x)^4*(a + a/cos(c + d*x))^n, x)